ساختار فراکتال


این واژه Fractal از کلمه لاتین Fractus (یعنی تکه تکه و بخش بخش) گرفته شده یکی از مهمترین خصوصیات فراکتالها خود متشابه بودن (self similarity)آنهاست به این معنی که فراکتالها از اجزایی تشکیل شده اند که هر جزء در آن شبیه به کل شکل میباشد و به عبارتی اشکال پیچیده از طریق تکرار اشکال ساده بدست می ایند.

فراکتال (Fractal)

فراکتال (Fractal) یا بَرخال شکل هندسی چند جزئی است که می‌توان آن را به قسمت‌هایی تقسیم ساختار فراکتال کرد، به‌طوری که هر قسمت یک کپی از «کل» شکل باشد. به تعریفی دیگر فراکتال ساختاری هندسی است که با بزرگ کردن هر بخش از این ساختار به نسبت معین، همان ساختار نخستین به دست آید. در واقع فراکتال ساختاری است که هر جزء از آن با کل آن همانند است. فراکتال از دور و نزدیک یکسان دیده می‌شود. به این ویژگی خودهمانندی می‌گویند. فرکتال شاخهٔ جدیدی از ریاضیات و هنر است. واژهٔ فراکتال مشتق‌شده از واژهٔ لاتینی Fractus (به‌معنی شکسته‌شده) می‌باشد که در سال ۱۹۷۵ برای اولین‌بار توسط بنوآ مندلبرات (Benoit Mandelbrot) مطرح شد.

فراکتال دارای ۳ ویژگی مهم است:
۱. دارای ویژگی خودهمانندی است (Self Similarity)
۲. شکل گرفتن از راه تکرار (Iterative Formation)
۳. بعد کسری (Fractional Dimension) (بعد آن یک عدد صحیح نیست)

منظور از بعد کسری:
۱. یک نقطه بعد ندارد.
۲. یک خط، شکلی یک بعدی است.
۳. یک صفحه، دو بعد دارد.
۴. شکل‌های حجیم، سه بعد دارند.
۵. اما فراکتال‌ها می‌توانند بعد کسری داشته باشند!

دنیای صفر بعدی در واقع نقطه ایست که دارای اندازه نیست و فقط یک تعریف است. خط در دنیای یک بعدی به اتصال دو نقطه هندسی گفته می‌شود که تنها یک مفهوم هستند و هیچ بعدی ندارند. بعد خط یک، بعد صفحه دو و بعد فضا سه است. فراکتال‌ها برخلاف همهٔ این‌ها بعد صحیح ندارند. برای نمونه بعد یک فراکتال می‌تواند ۱٫۲ باشد که بدین صورت از خط پیچیده‌تر و از صفحه سادتر است. بعد فراکتال‌ها از یک سری فرمول‌های لگاریتمی بدست می‌آیند.

برای بوجود آمدن یک شکلِ خودهمانند از یک چیز، باید تمامِ ابعادِ آن چیز نصف شود. مثلا: همان‌طور که می‌دانید یک پاره‌خط، یک بعد دارد و برای تشکیل یک خودهمانند باید پاره‌خط نصف شود و بعد از نصف شدن ۲ پاره‌خط متشابه داریم. و همچنین مربع دو بعد دارد و برای تشکیل خودهمانند باید هر دو بعد آنرا نصف کنیم. با نصف کردن هر دو بعد، ۴ مربع متشابه داریم. و همچنین مکعب سه بعد دارد و برای تشیکل خودهمانند باید هر سه بعد آنرا نصف کنیم. با نصف کردن هر سه بعد، ۸ مکعب متشابه داریم.

شکلبعدتعداد اشکال متشابه حاصله
پاره خط۱۲ = ۲ ۱
مربع۲۴ = ۲ ۲
مکعب۳۸ = ۲ ۳

به‌نظر می‌رسد که بعد، همان «توان» است. یعنی برای پیدا کردن تعداد اشکال حاصل باید ۲ را به توان بعد آن شکل برسانیم. بنابراین جدول زیر را می‌توانیم بجدول بالا اضافه کنیم.

شکلبعدتعداد اشکال متشابه حاصله
هر ساختار فراکتال شکل خود متشابهd۲ d = n

مثلا در مورد مثلث سیرپینسکی، اگر ما هر سه ضلع مثلث را نصف کنیم به سه مثلث می‌رسیم (توجه داشته باشید که مثلث وسط جزء مثلث سیرپینسکی نیست)، یعنی ۳ = ۲ d

۳ عددی بین ۲ ۱ و ۲ ۲ است. بعد آن بین ۱ و ۲ است. از طریق لگاریتم می‌توانید این مسئله را حل کنید.

از فراکتال‌های ساده می‌توان به برفدانهٔ کُخ (Koch Snowflake) و مثلث سیرپینسکی (Sierpinski Triangle) اشاره کرد.

فراکتال ها در طبیعت 9 حرف. دنیای شگفت انگیز فراکتال ها

من اخیراً متوجه این موارد شدم جالب ترین اشیاءدنیای ریاضی به صورت فراکتال اما آنها نه تنها در ریاضیات وجود دارند. همه جا ما را احاطه کرده اند. فراکتال ها طبیعی هستند. در مورد اینکه فراکتال ها چیست، در مورد انواع فراکتال ها، در مورد نمونه هایی از این اشیا و کاربرد آنها، در این مقاله خواهم گفت. برای شروع، من به طور خلاصه به شما می گویم که فراکتال چیست.

فراکتال (lat. fractus - له شده، شکسته، شکسته) شکل هندسی پیچیده ای است که خاصیت شباهت خود را دارد، یعنی از چند قسمت تشکیل شده است که هر کدام شبیه به کل شکل در کل است. در یک مفهوم گسترده تر، فراکتال ها به عنوان مجموعه ای از نقاط در فضای اقلیدسی درک می شوند که دارای یک بعد متریک کسری (به معنای مینکوفسکی یا هاوسدورف)، یا یک بعد متریک غیر از توپولوژیک هستند. به عنوان مثال، من یک تصویر از چهار فراکتال مختلف را وارد می کنم.

بگذارید کمی در مورد تاریخچه فراکتال ها به شما بگویم. مفاهیم هندسه فراکتال و فراکتال که در اواخر دهه 70 ظاهر شد، از اواسط دهه 80 به طور محکم در زندگی روزمره ریاضیدانان و برنامه نویسان تثبیت شد. کلمه "فرکتال" توسط بنوا ماندلبروت در سال 1975 برای اشاره به ساختارهای نامنظم اما خود مشابهی که او مطالعه کرد معرفی شد. تولد هندسه فراکتال معمولاً با انتشار کتاب هندسه فراکتال طبیعت اثر ماندلبرو در سال 1977 همراه است. آثار او از نتایج علمی سایر دانشمندانی که در دوره 1875-1925 در همین زمینه کار می کردند (پوانکاره، فاتو، جولیا، کانتور، هاوسدورف) استفاده می کرد. اما فقط در زمان ما امکان ترکیب کار آنها در یک سیستم واحد وجود داشت.

نمونه های زیادی از فراکتال ها وجود دارد، زیرا همانطور که گفتم همه جا ما را احاطه کرده اند. به نظر من، حتی کل جهان ما یک فراکتال عظیم است. به هر حال، همه چیز در آن، از ساختار اتم گرفته تا ساختار خود جهان، دقیقاً یکدیگر را تکرار می کنند. اما البته نمونه های خاص تری از فراکتال ها از مناطق مختلف وجود دارد. به عنوان مثال، فراکتال ها در دینامیک پیچیده وجود دارند. آنها آنجا هستند به طور طبیعی در مطالعه غیرخطی ظاهر می شود سیستم های دینامیکی . بیشترین مورد مطالعه شده زمانی است که سیستم دینامیکی با تکرار یک سیستم چند جمله ای یا هولومورفیک تعریف می شود. تابع مجموعه ای از متغیرها روی سطح برخی از معروف ترین فراکتال های این نوع عبارتند از مجموعه جولیا، مجموعه ماندلبروت و حوضه های نیوتن. در زیر به ترتیب تصاویر هر یک از فراکتال های فوق را نشان می دهند.

نمونه دیگری از فراکتال ها منحنی های فراکتال هستند. بهتر است نحوه ساخت یک فراکتال را با استفاده از مثال منحنی های فراکتال توضیح دهید. یکی از این منحنی ها به اصطلاح دانه های برف کوخ است. ساده وجود دارد روش به دست آوردن منحنی های فراکتال در یک صفحه. ما یک خط شکسته دلخواه با تعداد محدودی لینک تعریف می کنیم که به آن مولد می گویند. در مرحله بعد، هر بخش در آن را با یک ژنراتور (به طور دقیق تر، یک خط شکسته شبیه به یک ژنراتور) جایگزین می کنیم. در خط شکسته حاصل، دوباره هر بخش را با یک ژنراتور جایگزین می کنیم. با ادامه تا بی نهایت، در حد یک منحنی فراکتال می گیریم. در زیر یک دانه برف (یا منحنی) کوچ نشان داده شده است.

منحنی های فراکتال زیادی نیز وجود دارد. معروف ترین آنها عبارتند از: دانه برف کوخ که قبلاً ذکر شد، و همچنین منحنی لوی، منحنی مینکوفسکی، اژدهای شکسته، منحنی پیانو و درخت فیثاغورث. تصویری از این فراکتال ها و تاریخچه آنها، فکر می کنم، اگر بخواهید، می توانید به راحتی در ویکی پدیا پیدا کنید.

سومین نمونه یا نوع فراکتال ها، فراکتال های تصادفی هستند. چنین فراکتال ها شامل مسیر حرکت براونی می شود در یک صفحه و در فضا، Schramm-Löwner، انواع مختلفی از فرکتال‌های تصادفی‌شده، یعنی فراکتال‌های به‌دست‌آمده با استفاده از یک روش بازگشتی، که در آن یک پارامتر تصادفی در هر مرحله معرفی می‌شود، تکامل می‌یابد.

همچنین فراکتال های کاملاً ریاضی وجود دارد. اینها برای مثال مجموعه کانتور، اسفنج منگر، مثلث سیرپینسکی و دیگران هستند.

اما شاید جالب ترین فراکتال ها، فراکتال های طبیعی باشند. فراکتال های طبیعی اشیایی در طبیعت هستند که خاصیت فراکتالی دارند. و در حال حاضر یک لیست بزرگ وجود دارد. من همه چیز را فهرست نمی کنم، زیرا، احتمالا، نمی توانم همه آنها را فهرست کنم، اما در مورد برخی خواهم گفت. به عنوان مثال، در طبیعت زنده، چنین فراکتال هایی شامل سیستم گردش خون و ریه های ما می شود. و همچنین تاج و برگ درختان. همچنین در اینجا می توانید ستاره های دریایی را نیز بگنجانید، جوجه های دریایی، مرجان ها، صدف های دریایی، برخی از گیاهان مانند کلم یا کلم بروکلی. در زیر، چندین فراکتال طبیعی از حیات وحش به وضوح نشان داده شده است.

اگر طبیعت بی جان را در نظر بگیریم، نمونه های بسیار جالب تری نسبت به طبیعت زنده وجود دارد. رعد و برق، دانه های برف، ابرها که برای همه شناخته شده است، الگوهای روی پنجره ها در روزهای یخبندان، کریستال ها، رشته کوه ها - همه اینها نمونه هایی از فراکتال های طبیعی از طبیعت بی جان هستند.

نمونه ها و انواع فراکتال ها را در نظر گرفته ایم. در مورد استفاده از فراکتال ها، آنها در زمینه های مختلف دانش استفاده می شوند. در فیزیک، فراکتال‌ها به‌طور طبیعی هنگام مدل‌سازی فرآیندهای غیرخطی، مانند جریان سیال آشفته، فرآیندهای انتشار-جذب پیچیده، شعله‌ها، ابرها و غیره به وجود می‌آیند. فراکتال‌ها هنگام مدل‌سازی مواد متخلخل، به عنوان مثال، در پتروشیمی استفاده می‌شوند. در زیست شناسی، آنها برای مدل سازی جمعیت ها و برای توصیف سیستم های اندام های داخلی (سیستم رگ های خونی) استفاده می شوند. پس از ایجاد منحنی کخ، پیشنهاد شد از آن در محاسبه طول خط ساحلی استفاده شود. همچنین، فراکتال ها به طور فعال در مهندسی رادیو، در علوم کامپیوتر و فناوری کامپیوتر، مخابرات و حتی اقتصاد استفاده می شوند. و البته دید فراکتال به طور فعال در هنر و معماری معاصر استفاده می شود. در اینجا یک نمونه از نقاشی های فراکتال آورده شده است:

و بنابراین، در این مورد، من فکر می کنم داستان خود را در مورد چنین پدیده ریاضی غیر معمول مانند یک فراکتال کامل کنم. امروز با انواع و نمونه های فراکتال آشنا شدیم. و همچنین در مورد کاربرد آنها صحبت کردم و برخی از فراکتال ها را به وضوح نشان دادم. امیدوارم از این گشت و گذار کوتاه در دنیای اجسام فراکتال شگفت انگیز و جادویی لذت برده باشید.

ساخته شده توسط دانش آموز کلاس هفتم پولینا کارپیوک

پریودا از اشکال خود مشابه ساخته شده است، ما فقط متوجه آن نمی شویم. در این گالری تصاویری را گردآوری کرده ایم که در آنها فراکتالیته به وضوح قابل مشاهده است.

دانلود:

پیش نمایش:

برای استفاده از پیش نمایش ارائه ها، یک حساب Google (حساب) ایجاد کنید و وارد شوید: https://accounts.google.com

شرح اسلایدها:

فراکتال ها در طبیعت تکمیل شده توسط: دانش آموز کلاس 7 "B" پولینا کارپیوک رئیس: مولچانوا ایرینا پاولونا روبتسوفسک-2015

ریاضیات، که به درستی به آن نگاه کنیم، نه تنها حقیقت، بلکه زیبایی غیر قابل مقایسه را منعکس می کند. برتراند راسل

درخت، ساحل دریا، ابر یا رگ های خونی در دست ما چه وجه اشتراکی دارند؟ یک ویژگی ساختار وجود دارد که در تمام اشیاء فهرست شده ذاتی است: آنها خود مشابه هستند. از شاخه، و همچنین از تنه یک درخت، فرآیندهای کوچکتر از آنها خارج می شود - حتی کوچکترها و غیره، یعنی یک شاخه شبیه به کل درخت است. سیستم گردش خون به روشی مشابه مرتب شده است: شریان ها از شریان ها خارج می شوند و از آنها - کوچکترین مویرگ ها که از طریق آنها اکسیژن وارد اندام ها و بافت ها می شود. ریاضیدان آمریکایی، بنوا ماندلبرو، این ویژگی اشیاء را فرکتالیته و خود چنین اشیایی را فراکتال نامید. خود کلمه "فرکتال" از لاتین به عنوان "جزئی"، "تقسیم شده"، "تکه تکه شده" ترجمه شده است، و در مورد محتوای این اصطلاح، عبارت به این صورت وجود ندارد. معمولاً به عنوان یک مجموعه خود مشابه، بخشی از کل، که توسط ساختار آن ساختار فراکتال در سطح خرد تکرار می شود، تلقی می شود. .

عکس های فضایی از مناظر زمینی اغلب نمونه های بسیار خوبی از فراکتال ها را ارائه می دهند.

خطوط ساحلی معمولاً به شکل فراکتال هستند، اما در درجه فرورفتگی آنها متفاوت است. این مثال دو ویژگی مشخصه فراکتال‌های طبیعی را نشان می‌دهد: کانال‌های مجزا کپی از یکدیگر نیستند، اما خطوط منحنی مشابهی دارند، گویی با یک الگو ترسیم شده‌اند. مجاری بزرگ از نظر طرح کلی شبیه به مجاری کوچک و بسیار کوچک هستند. اگر مثلاً گوشه سمت چپ پایین تصویر را افزایش دهیم، چیزی شبیه به کل تصویر به دست می‌آید

تعامل آب و زمین باعث ایجاد ساختارهای فراکتال مناظر می شود - چه کوه ها، رودخانه ها یا سواحل.

احتمالاً همه تصویر هنرمند ژاپنی هوکوسای "موج بزرگ" را می شناسند که در آن موج سونامی در پس زمینه فوجیما به تصویر کشیده شده است. اگر به این تصویر نگاه کنید، متوجه خواهید شد که هنرمند هنگام ترسیم تاج یک موج از یک فراکتال استفاده کرده است که گویی از پنجه های آب شکارچی متعدد تشکیل شده است. بنابراین، این تصویر اغلب به عنوان تصویری برای کتاب های نظریه آشوب، فراکتال ها استفاده می شود.

هنگامی که یک تپه ماسه ای توسط آب فرسایش می یابد، در مقیاس کوچکی تکرار می شود که به مناظر بزرگ زمینی شکل فراکتالی می دهد.

تخلیه رعد و برق یکی از نمونه های فراکتال های طبیعی است.

این تصویر نه تنها شکستگی تاج درختان را نشان می دهد، بلکه به یک ملاحظه جالب دیگر منجر می شود: جنگل به عنوان یک جامعه بیولوژیکی نیز یک فراکتال است. درختان منفرد - بزرگ و کوچک - سپس به عنوان شاخه های فراکتال عمل می کنند. شبیه هم هستند، اما همدیگر را تکرار نمی کنند.

رگبرگ های برگ یک فراکتال طبیعی صاف هستند. برای هر گیاه، الگوی مشخصه منحصر به فرد است، همانطور که الگوی پاپیلی روی دست انسان منحصر به فرد است. گوته (شاعر و دانشمند) معتقد بود که برگ رساترین قسمت گیاه است که تمام مورفولوژی آن را منعکس می کند.

سرخس ها نمونه ای از فراکتال های طبیعی هستند که بسیار شبیه به فراکتال های کامپیوتری هستند. در عین حال، آنها همچنین از این نظر جالب هستند که سرخس ها در کنار خزه های مختلف و سایر گیاهان پایین تر، یکی از باستانی ترین گیاهان از نظر تکاملی هستند.

این یکی دیگر از نمونه های معروف و بسیار چشمگیر یک فراکتال طبیعی است که از نظر ریاضی اشکال متفاوتی دارد. حداقل سه سطح از هرم های مبتکرانه خود مشابه کلم Romanesco وجود دارد

یک فراکتال جادویی زیبا که به خوبی می تواند الهام بخش برخی از هنرمندان باشد. در عین حال، نگاه دقیق تری بیندازید: این فقط یک دسته بسته از برگ کلم است.

اینها نمونه های عجیبی از ساختار فراکتال در دنیای معدنی هستند. قطعه طلای کربنات آپاتیت یک گنجینه نفیس ساخته شده توسط خود طبیعت است.

آیا تا به حال فکر کرده اید که ما به معنای واقعی کلمه در فراکتال فکر می کنیم؟ در اینجا چیزی برای فکر کردن وجود دارد - چه کسی استدلال می کند که مغز یکی از شگفت انگیزترین و منحصر به فردترین مخلوقات طبیعت است. و معلوم می شود که از نظر ظاهری دارای همان ویژگی های فراکتالی مانند ابرهای جوی یا سیستم ریشه گزنه است.

همه چیز در اینجا هنوز پیچیده تر است: دو درخت فراکتال جداگانه در هم تنیده شده اند - خون وریدی یکی یکی تامین می شود و خون شریانی غنی شده با اکسیژن از دیگری تخلیه می شود. و در مجموع، ریه یک سیستم شگفت‌انگیز پیچیده از سه فراکتال است - یکی تنفسی و دو دستگاه گردش خون.

شبکیه حاوی سلول های حساس به نور است که به ما امکان دیدن را می دهد. در این تصویر آنها سبز مایل به زرد هستند. آنها یک شبکه (شبکیه) را تشکیل می دهند، اما این شبکه آشفته و فراکتال است.

این شکم خوک است. به نظر می رسد لکه های رنگ او نیز از قوانین فراکتال پیروی می کنند. این موضوع جالبی است و از همه مهمتر کاربردهای زیادی از جمله نظامی دارد. طبق چه قوانینی باید یک الگوی استتار ترسیم شود تا پوشنده آن با اشکال طبیعی - منظره و پوشش گیاهی ادغام شود؟

با تشکر از توجه شما.

ارسال کار خوب خود در پایگاه دانش ساده است. از فرم زیر استفاده کنید

دانشجویان، دانشجویان تحصیلات تکمیلی، دانشمندان جوانی که از دانش پایه در تحصیل و کار خود استفاده می کنند از شما بسیار سپاسگزار خواهند بود.

نوشته شده در http://www.allbest.ru/

وزارت آموزش و پرورش و علوم فدراسیون روسیه

موضوع: فراکتال ها- خاصاشیاءزندهوبی جانصلح

Khabarovsk PNU 2015

  • فهرست مطالب
  • گرافیک فراکتال هندسی فراکتال
  • تاریخچه فراکتال ها
  • طبقه بندی فراکتال
  • فراکتال های هندسی
  • فراکتال های جبری
  • کاربرد فراکتال ها
  • فراکتال ها و دنیای اطراف ما
  • گرافیک فراکتال
  • کاربرد فراکتال ها
  • علوم طبیعی
  • مهندسی رادیو
  • انفورماتیک
  • اقتصاد و امور مالی

تاریخچه فراکتال ها

اغلب ساختار فراکتال اوقات ما با اشیاء خاصی ملاقات می کنیم، اما تعداد کمی از مردم می دانند که اینها فراکتال هستند. فراکتال ها اشیاء منحصر به فردی هستند که توسط حرکات غیرقابل پیش بینی دنیای آشفته تولید می شوند. آنها هر دو در اجسام کوچک رخ می دهند، به عنوان مثال، غشای سلولی، و بزرگ، مانند منظومه شمسیو کهکشان در زندگی روزمره، ما می‌توانیم فراکتال‌ها را روی کاغذ دیواری، روی پارچه، روی محافظ صفحه نمایش دسکتاپ روی رایانه ببینیم و در طبیعت، اینها گیاهان، حیوانات دریایی و پدیده‌های طبیعی هستند.

دانشمندان از زمان های قدیم شیفته فراکتال ها بوده اند، برنامه نویسان و متخصصان گرافیک کامپیوتری نیز عاشق این اشیا هستند. کشف فراکتال ها انقلابی در درک انسان از جهان و کشف زیبایی شناسی جدیدی از هنر و علم بود.

بنابراین فراکتال ها چیست؟ فراکتال- شکل هندسی که خاصیت تشابه خود را دارد، یعنی از چند قسمت تشکیل شده است که هر کدام شبیه به کل شکل در کل است.

اصطلاح فراکتال در سال 1975 مطرح شد. بنوا ماندلبرو برای اشاره به ساختارهای نامنظم و خود مشابهی که به آنها توجه داشت. تولد هندسه فراکتال انتشار کتاب «هندسه فراکتال طبیعت» او در سال 1977 است. کار او بر اساس آثار دانشمندان پوانکاره، فاتو، جولیا، کانتور و هاسدورف بود که در سال 1875 کار کردند؟ 1925 در همین منطقه. اما ترکیب آثار آنها در یک سیستم واحد فقط در زمان ما امکان پذیر بود.

مفهوم "فراکتال" از کلمه لاتین "fractus" گرفته شده است؟ از قطعات تشکیل شده است یکی از این تعاریف به نظر می رسد: "فرکتال ساختاری متشکل از بخش هایی است که به نوعی شبیه به کل هستند."

بنوا ماندلبرو در آثار خود مثال های روشنی از استفاده از فراکتال ها برای توضیح برخی از پدیده های طبیعی ارائه کرد. او به خاصیت جالبی که بسیاری از فراکتال ها دارند توجه زیادی کرد. واقعیت این است که اغلب یک فراکتال را می توان به طور دلخواه به قطعات کوچک تقسیم کرد، به طوری که هر قسمت فقط یک کپی کوچک از کل باشد. به عبارت دیگر، اگر از طریق میکروسکوپ به یک فراکتال نگاه کنیم، از دیدن همان تصویر بدون میکروسکوپ شگفت زده خواهیم شد. این ویژگی خود شباهت، فراکتال ها را به شدت از اجسام هندسه کلاسیک متمایز می کند.

برای دانشمندان مدرن، مطالعه فراکتال ها؟ نه فقط یک حوزه جدید دانش. این کشف نوع جدیدی از هندسه است که جهان اطراف ما را توصیف می کند و نه تنها در کتاب های درسی، بلکه در طبیعت و در کیهان بی کران نیز دیده می شود. در حال حاضر، ماندلبروت و دانشمندان دیگر دامنه هندسه فراکتال را گسترش داده‌اند تا بتوان آن را تقریباً در همه چیز در جهان، از پیش‌بینی قیمت‌ها در بازار سهام تا اکتشافات جدید در فیزیک نظری، به کار برد.

طبقه بندی فراکتال

دسته بندی های مختلفی از فراکتال ها وجود دارد.

طبقه بندی اصلی فراکتال ها تقسیم بندی به هندسی و جبری است.

فراکتال‌های هندسی دارای شباهت دقیق با خود هستند، در حالی که فراکتال‌های جبری دارای شباهت تقریبی با خود هستند.

ساختار فراکتالی بازار های مالی

ساختار فراکتالی بازار های مالی

این واژه Fractal از کلمه لاتین Fractus (یعنی تکه تکه و بخش بخش) گرفته شده یکی از مهمترین خصوصیات فراکتالها خود متشابه بودن (self similarity)آنهاست به این معنی که فراکتالها از اجزایی تشکیل شده اند که هر جزء در آن شبیه به کل شکل میباشد و به عبارتی اشکال پیچیده از طریق تکرار اشکال ساده […]

این واژه Fractal از کلمه لاتین Fractus (یعنی تکه تکه و بخش بخش) گرفته شده یکی از مهمترین خصوصیات فراکتالها خود متشابه بودن (self similarity)آنهاست به این معنی که فراکتالها از اجزایی تشکیل شده اند که هر جزء در آن شبیه به کل شکل میباشد و به عبارتی اشکال پیچیده از طریق تکرار اشکال ساده بدست می ایند.

تشکیل از راه تکرار (Iterative formation)

مقصود از تشکیل از راه تکرار چیست؟ یعنی برای درست کردن یک فراکتال می‌توانیم یک شکل معمولی هندسی ( مثلاً یک خط ) را انتخاب کنیم و با آن یک شکل بسازیم. سپس با شکل به دست آمده، شکل پیچیده تری مانند شکل های قبلی بسازیم، و همین طور به این کار ادامه دهیم. اگر شکل قرمز را شکل پایه در نظر بگیریم ، در شکل آبی چند نمونه از آن وجود دارد؟
اشکال فراکتالی به این طریق به وجود می‌آیند و برنامه های کامپیوتری متعددی برای ایجاد آن ها نوشته شده است که هر کدام نام و روشی خاص دارند در زیر به چند نمونه از آن اشاره می کنیم:

– مثلث سیرپینسکی :

به این مثلث خاص در شکل زیر نگاه کنید. این مثلث بزرگ (که با نام لاتی ierpinski triangle معروف است)، از مثلث های مشابه کوچک تر تشکیل شده است که همین طور کوچک تر و کوچک تر هم می‌شوند. چند سایز مثلث وجود دارد و آیا همه باهم و با مثلث بزرگ تشابه دارند؟ در واقع مثلث بزرگ از چیدمان چندین مثلث دیگر بوجود آمده اند که هر کدام از آنها نیز به نوبه خود از مثلثهای کوچتکر و هر کدام از آن مثلث های کوچکتر نیز از مثلثهای کوچکتر از خود و … بوجود آمده است

دانه برف کخ:

فرکتال

این دانه برف تنها از یک مثلث و بصورت زیر ساخته می شود. (این نام از نام آن ریاضیدان، نیلز فابین هلگ وان‌ کُخ Niels Fabian Helge Von Koch گرفته شده است.) برای ملموس تر شدن موضوع اجازه دهید کمی از این هندسه زیبا را در اطرافمان بیابیم: ساختارهای فراکتالی در بسیاری از ساختارهای طبیعی مثل ساختمان دانه های برف، شکل کوه ها، ابرها و شکل ریشه، تنه و برگ درختان، رویش بلورها در سنگهای آذرین، شبکه آبراه ها و رودخانه ها، رسوبگذاری الکتروشیمیایی، رویش توده باکتریها و سیستم عروق خونی وغیره دیده میشوند و با آنها میتوان پدیده های طبیعی بسیاری را تشریح، تفسیر و پیش بینی کرد

– فراکتال طبیعی گیاه آلوئه پلی فیلا

فرکتال

شکل زیر از دوران یک تک برگ حول محور مرکز (به گونه ای که شعاع دوران دائمآ در حال کاهش است) بوجود آمده است.لذا میتوان بجای مطالعه کل شکل, تنها به مطالعه همان تک برگ پرداخت زیرا کل شکل فوق چیزی به جز قرار گیری هدفمند تعداد زیادی از این تک برگها در کنار یکدیگر نیست.

کلم بروکلی رومانسکو

کلم بروکلی رومانسکو، یکی از کلم های عجیب در جهان به حساب می آید، چرا که ترتیب قرارگیری و شکل هندسی برگ ها و دانه های آن از معادلات و اشکال هندسی کاملا متقارن و هندسی تبعیت می کند

– دانه برف طبیعی:

furukawa6

در عکس میکروسکوپی زیر می بینید که دانه های برف با چه زیبایی وصف ناپذیری بصورت فرکتالی ساخته شده اند موارد کاربرد فراکتالها آنچنان زیاد است که حتی نمیتوان لیستی از آن ارائه داد. چند مورد از کاربرد های روزمره با فراکتال ها: مثلآ در کامپیوتر (برای فشرده کردن تصاویر یا پردازش تصاویر)، فیزیک (آنتن های گوشی موبایل)، پزشکی (برای تفسیر نوار قلبی و پیش بینی رفتار بدن)، معماری و شهرسازی، اقتصاد، شیمی، پیش بینی وضع هوا، زمین شناسی و حرکت گسل ها و بسیاری از مواد دیگر؛ همچنین میتوان رد پای فراکتال ها را در خلق آثار هنری جست و با استفاده از آنها ایده های بدیع و زیبایی خلق نمود.

ارتباط فراکتال با بازار های مالی

در بازار های مالی نیز مانند سایر بخشهای کتاب خلقت، سیستم فراکتالی نیز صادق است. اگر تایم فریم را مانند یک طیف در نظر بگیریم، و جهت حرکت از سمت چپ به راست باشد، در سمت چپ و در نقطه آغاز این طیف، تیک چارت را بعنوان کوچکترین آجر و سنگ بنای تایم فریم های دیگر خواهیم داشت. در واقع تیک چارت حکم اتم (به معنای غیر قابل تجزیه به عوامل کوچکتر) را دارد در هر زمانی که قیمت جدیدی برای یک جفت ارز (Ask) اعلام شود، تیک چارت تغییر خواهد کرد. در مرحله بعدی تایم فریم یک دقیقه را داریم که اطلاعات تیک چارت را به مدت یک دقیقه خلاصه کرده و در یک کندل حاوی: قیمت شروع یک دقیقه مورد بررسی (open)، قیمت در پایان یک دقیقه مورد بررسی (close)، قیمت حد اکثر در یک دقیقه مورد بررسی (high) ، و قیمت حداقل در یک دقیقه مورد بررسی (low) قرار می گیرد. تایم فریم بعدی در طیف می تواند تایم فریم 5 دقیقه باشد که اطلاعات 5 کندل یک دقیقه ائی را در خود جا داده و در یک کندل نمایش می دهد: قیمت شروع پنج دقیقه مورد بررسی (open)، قیمت در پایان پنج دقیقه مورد بررسی (close)، قیمت حداکثر در پنج دقیقه مورد بررسی (high) ، و قیمت حداقل در پنج دقیقه مورد بررسی (low) همینطور که از سمت چپ این طیف به سمت راست طیف حرکت می کنیم تایم فریم بزرگتر و بزرگتر می شود اما جزء غیر قابل تجزیه در تمام آنها (مانند تمام ساختارهای فراکتالی) فقط یک چیز است که در این مورد (تایم فریمها) همان تیک چارت می باشد.

نکته اساسی که در ساختار فراکتالی تایم فریمها وجود دارد آنست که تمام تکنیکها، روشها ، اندیکاتورها، استراتژی ها و … که برای یک تایم فریم قابل استفاده است، برای تمام تایم فریمهای دیگر با همان دقت قابل بکارگیری می باشد. یعنی استراتژی شما در تایم فریم یک دقیقه به همان نحوه ائی عمل می کند که در تایم فریم ماهانه و یا سایر تایم فریم ها بکار گرفته شود.

این اعجاز بزرگ ساختار فراکتالی در بازار سرمایه است. البته بدیهی است که تایم های پایین تر میکروسکوپیک و حرکتها دارای برد های کمتر و تایم های بالاتر ماکروسکوپیک بوده و در نتیجه حرکتها با برد های بیشتر اتفاق می افتند. (دید فرکتالی به بازار می تواتند تحلیل تکنیکال شما را بهبود ببخشد)

Architecture

Fractal African "Ba-Ila" village-plan
Here is an amazing raytraced Fractal Temple i found on the web (artist unknown)





هندسه فراکتال

واژه فراکتال مشتق از واژه لاتینی فراکتوس- به معنی سنگی که به شکل نامنظم شکسته خرد شده است- در سال ۱۹۷۵ برای اولین بار توسط بنوت مندل بروت مطرح شد. فراکتال ها شکل هایی هستند که بر خلاف شکل های هندسی اقلیدسی به هیچ وجه منظم نیستند. این شکل ها اولاً سر تاسر نامنظم اند، ثانیاً میزان بی نظمی آنها در همه مقیاسها یکسان است.

با ملاحظه اشکال موجود در طبیعت، مشخص می شود که هندسه اقلیدسی قادر به تبیین و تشریح اشکال پیچیده و ظاهراً بی نظم طبیعی نیست.
مندل بروت در سال ۱۹۷۵ اعلام کرده که ابرها به صورت کره نیستند، کوهها همانند مخروط نمی باشند، سواحل دریا دایره شکل نیستند، پوست درخت صاف نیست و صاعقه بصورت خط مستقیم حرکت نمی کند.


وقتی که به یک جسم فراکتال نزدیک می شویم، می بینیم که تکه های کوچکی از آن که از دور همچون دانه ها بی شکلی به نظر می رسید، بصورت جسم مشخص در می آید که شکلش کم و بیش مثل همان شکلی است که از دور دیده می شود. در طبیعت نمونه های فراوانی از فراکتال ها دیده می شود. درختان ، ابرها، کوهها، رودها، لبه سواحل دریا، و گل کلم ها اجسام فراکتال هستند بخش کوچکی از یک درخت که شاخه آن باشد شباهت به کل درخت دارد. این مثال را می توان در مورد ابرها، گل کلم، صاعقه و سایر اجسام فراکتال عنوان نمود.
بسیاری از عناصر مصنوع دست بشر نیز بصورت فراکتال می باشند. تراشه های سلیکان، منحنی نوسانات بازار بورس، رشد و گسترش شهرها و بالاخره مثلث سرپینسکی را می توان در این مورد مثال زد.

در علم ریاضی فراکتال یک شکل مهندسی است که پیچیده است ودارای جزئیات مشابه در ساختار خود در هر مقیاسی است.

میزان بی نظمی در آن از دور و نزدیک به یک میزان است. مثلث سرپینسکی یک مثلث متساوی الاضلاع است که نقاط وسط سرضلع آن به یکدیگر متصل شده اند. اگر این عمل در داخل مثلث های متساوی الاضلاع جدید تا بی نهایت ادامه یابد، همواره مثلث هایی حاصل می شوند که مشابه مثلث اول هستند.

هندسه ی اقلیدسی – احجام کامل کره ها و هرم ها و مکعب ها واستوانه ها- بهترین راه نشان دادن عناصر طبیعی نیستند . ابرها و کوه ها و خط ساحلی و تنه ی درختان همه با احجام اقلیدسی در تضاد هستند و نه صاف بلکه ناهموار هستند و این بی نظمی را در مقیاس های کوچک نیز به ارمغان می آورند که یکی از مهمترین خصوصیات فراکتال ها همین است .
این بدین معناست که هندسه ی فراکتال بر خلاف هندسه ی اقلیدسی روش بهتری را برای توضیح و ایجاد پدیده هایی همانند طبیعت است .زبانی که این هندسه به وسیله ی آن بیان می شود الگوریتم نام دارد که با اشیا مرکب می توانند به فرمولها و قوانین ساده تری ترجمه و خلاصه شوند.
فرکتال از کلمه ی لاتین فراکتوس به معنی سنگی نامنظم شکسته و خرد شده است، گرفته شده است . اولین بار فرکتال را دکتر ماندلبروت طی نظریه ای که برای مسائل جهان هستی ارائه کرد و در این نظریه عنوان کرد که جهان هستی بعدی مابین ۲۳/۱-۳۴/۱۱ دارد و تمامی پدیده های طبیعی به نوعی فرکتالهایی می باشند در جهان هستی که برای ما ناشناخته اند.
فراکتال ها انواع عناصری هستند که فرم فضایی آنها صاف نیست .بنابراین “نامرتب ” نامیده شده اند و این نامنظمی آنها به طور هندسی در راستای مقیاسهای گوناگون در داخل هرم تکرار می شوند .هر چیز طبیعی در اطراف ما در اصل نوعی فراکتال است . به این سبب که خطوط صاف و پلانها فقط در دنیای ایده آل ریاضی وجود دارد .در کنار این تئوری هر سیستم که بتواند به صورت هندسی متصور و تحلیل شود می تواند یک فرکتال باشد .جهان در فرم فیزیکی ( مادی ) کلی خود پر هرج و مرج ،ناممتد و نامنظم است اما در پس این اولین ذهنیت و گمان یک نوع دستوری نهفته است که منظم و دارای ترکیبی واضح است . بهترین راه برای تعریف یک فرکتال توجه به صفتها و نشانه های آن است یک فرکتال ” نامنظم ” است . این بدان معنی است که در آن هیچ قسمتی صاف نیست . فرکتال ” خود مشابه ” است و این بدین معنی است که ” اجزا ” شبیه کل هستند .
فراکتال ها به وسیله ی ” تکرار ” توسعه می یابند که به این معنی است که تغییرشکل مکرراً ایجاد شده و وابسته به موقعیت شروع است . خصوصیت دیگر آن این است که فراکتال ” مرکب ” است . اما با این حال می توان آن را به وسیله ی الگوریتم های ساده نشان داد و همچنین بدون معنی نیز نیست که در پس عناصر نامرتب طبیعی یک رشته قوانین موجود است .
Benoît B. Mandelbrot (born 20 November 1924) is a French mathematician, best known as the father of fractal geometry. He is Sterling Professor of Mathematical Sciences, Emeritus at Yale University; IBM Fellow Emeritus at the Thomas J. Watson Research Center; and Battelle Fellow at the Pacific Northwest National Laboratory. He was born in Poland. His family moved to France when he was a child, and he was educated in France. He is a dual French and American citizen. Mandelbrot now lives and works in the United States.

فرکتال (برخال) چیست؟
ما فرکتال‌ها را هر روز می‌بینیم: درختها ، کوهها، پراکنده شدن برگهای پاییزی روی زمین ، ساحل دریا و …


حالا به این تعریف دقت کنید: فراکتال تصویر هندسی چند جزیی است که می‌توان آن را به تکه هایی تقسیم کرد که انگار هر تکه یک کپی از ” کل ” تصویر است . به سختی بتوان باور کرد که چیزی مانند فراکتال‌ها بتواند اینقدر پیچیده و سخت باشد و در عالی ترین سطوح ریاضی به کار رود و در عین حال بتوان به تصویر یک سرگرمی خوب به آن نگاه کرد. اگر بخواهیم بترسانیمتان می‌توانیم بگوییم که هندسه فراکتالی حرکت اشکال در فضا را ثبت می‌کند و یا ناهمواری دنیا و انرژی و تغییرات دینامیک آن را نشان می‌دهد ! اما راستش را بخواهید فراکتال چیز ساده ای است به سادگی ابرها یا شعله های آتش.

واژه فرکتال از ریشه ای یونانی به معنای ” تکه تکه شده ” و”بخش بخش” آمده است و به نحوی تعریف ریاضی اش را در خود دارد

اگر بخواهیم از دید کلی به بحث فرکتال نگاه کنیم آن را می توان به ۳ دسته تقسیم بندی کرد :
۱- هندسه فرکتال : در این قسمت از دید ریاضی به فرکتال نگاه می شود که بیشتر مورد توجه ریاضی دان ها قرار گرفته اما پایه های قسمت های بعدی نیز می باشد ، و تا با عناصر اصلی فرکتال و چگونگی ایجاد این فرم آشنا نشویم نمی توان فرم های مختلف و حجم های مختلف را شناسایی کرد.
۲- فرم فرکتال : قسمت دوم این مقاله است ، با توجه به اینکه ،محصول هندسه فرکتال فرمی است که دقیقاً آن مشخصه های هندسی مربوطه را دارد . در این بخش فرم هایی همچون فرم های درخت ، فرم های مندلبرت ، فرمهای موجود در طبیعت ، ایجاد فرم های رندوم (Random fractal) ، خود متشابهی (self similarity) ، فرکتال در نقاشی ( آثار نقاشانی چون جکسون پالاک ) و … مورد بررسی قرار خواهد گرفت .
۳- حجم فرکتال (فرکتال در معماری): نتیجه فرم های مختلف می تواند به یک اثر معماری منتج شود لذا در این بخش حجم های فرکتالی و آثار معماری مطرح می شود .
اشکال فرکتالی چنان با زندگی روزمره ما گره خورده که بسیار جالب است. با کمی دقت به اطراف خود، می توان بسیاری از این اشکال را یافت. از گل فرش زیر پای شما و گل کلم درون مغازه های میوه فروشی گرفته تا شکل کوه ها، ابرها، دانه برف و باران، شکل ریشه، تنه و برگ درختان و بالاخره شکل سرخس ها، سیاهرگ و حتی می توان از این هم فراتر رفت : سطح کره ماه ، منظومه شمسی و ستارگان .
البته در بخش فرم های فرکتال این موضوع بیشتر مشهود است به طوری که بسیاری از فرمهای خلقت دارای ساختاری فرکتال هستند .
این روزها از فراکتالها به عنوان یکی از ابزارهای مهم در گرافیک رایانه ای نیز نام می برند، اما هنگام پیدایش این مفهوم جدید بیشترین نقش را در فشرده سازی فایلهای تصویری بازی می کنند.
فرکتال از منظر هندسی
هندسه فرکتالی یا هندسه فرکتال ها پدیده ایست که چندی پیش پا به دنیای ریاضیات گذاشت.
واژه فرکتال در سال ۱۹۷۶ توسط ریاضیدان لهستانی به نام بنوئیت مندلبرات وارد دنیای ریاضیات شد.
او در سال ۱۹۸۷ پرفسوری خود را در رشته ریاضیات گرفت.
مندلبرات وقتی که بر روی تحقیقی پیرامون طول سواحل انگلیس مطالعه می نمود به این نتیجه رسید که هر گاه با مقیاس بزرگ این طول اندازه گرفته شود بیشتر از زمانی است که مقیاس کوچکتر باشد.
از لحاظ واژه مندلبرات انتخاب اصطلاح فرکتال (fractal) را از واژه لاتین fractus یا fractum (به معنی شکسته ) گرفت تا بر ماهیت قطعه قطعه شونده که یکی از مشخصه های اصلی این فرم است ،تاکید داشته باشد .
فرهنگستان زبان هم واژه برخال را تصویب کرده و همچنین برای واژه فرکتالی واژه برخالی را تصویب کرده است.
واژه فرکتال به معنای سنگی است که به شکل نامنظم شکسته شده باشد.
اما در هندسه :
فرکتال از دید هندسی به شیئی گویند که دارای سه ویژگی زیر باشد:
۱-اول اینکه دارای خاصیت خود متشابهی باشد یا به تعبیر دیگر self-similar باشد.
۲-در مقیاس خرد بسیار پیچیده باشد.
۳-بعد آن یک عدد صحیح نباشد (مثلاً‌ ۱٫۵).
برای درک بهتر نسبت به مشخصات بالا در فرم هندسی ، بد نیست نمونه ای که شاید تا کنون با آن برخورد کرده باشید مطرح شود :


تصویر بالا ( یک کبوتر ) یک فرم هندسی است که دقیقاً با تعاریفی که در تعریف فرکتال بیان شد، منطبق است یعنی هم دارای خاصیت خود متشابهی و پیچیدگی در مقیاس خرد و نیز عدم داشتن بعد صحیح . تصویر بالا دارای بعدی بین عدد ۲ و ۳ است.
حال به بررسی هر یک در زیر پرداخته شده :
خاصیت خود متشابهی فرکتا لها
شیئی را دارای خاصیت خود متشابهی می گوییم: هر گاه قسمت هایی از آن با یک مقیاس معلوم ، یک نمونه از کل شیئی باشد.
ساده ترین مثال برای یک شیئ خود متشابه در طبیعت گل کلم است که هر قطعه‌ی کوچک گل کلم متشابه قطعه بزرگی از آن است .
همین طور درخت کاج یک شیئ خود متشابه است ،چرا که هر یک از شاخه های آن خیلی شبیه یک درخت کاج است ولی در مقیاس بسیار کوچکتر .همچنین در مورد برگ سرخس نیز چنین خاصیتی وجود دارد.
رشته کوه ها ، پشته های ابر ، مسیر رودخانه ها و خطوط ساحلی نیز همگی مثال‌ها‌یی از یک ساختمان خود متشابه هستند.
نمونه ای از خود متشابهی در شکل زیر نیز دیده می شود.

فراکتال شکل هندسی پیچیده است که دارای جزییات مشابه در ساختار خود در مقیاسهای متفاوت می باشد و بی نظمی در آن از دور و نزدیک به یک اندازه است .
واژه فراکتال مشتق گرفته شده از واژه لاتینی فراکتوس به معنای سنگ است که به شکل نا منظم شکسته و خرد شده .این واژه برای اولین بار توسط بنوت مندل بروت مطرح شد .
جسم فراکتال از دوز و نزدیک یکسان دیده می شود .مثلا وقتی به یک کوه نگاه می کنیم شکلی شبیه به یک مخروط می بینیم که روی آن مخروطهای کوچکتر و بی نظمی دیده می شود ولی وقتی نزدیک می شویم همین مخروطهای کوچک شبیه کوه هستند و یا شاخه های یک درخت شبیه خود درخت هستند .البته در طبیعت نمونه های اجسام فراکتال فراوان است مثلا ابرها -رودها -سرخس ها و حتی گل کلم از اجسام فراکتال است .و اگر به ساخته های دست بشر هم نگاه کنیم تراشه های سیلیکان و یا مثلث سرپینسکی نیز فراکتال هستند . و در معماری همیشه نباید نیاز بشر را هندسه اقلیدسی تامین کند .گسترش شهرها نمونه آشکاری از فراکتال است.

- اشکال اقلیدسی با استفاده از توابع ایستا تولید می شوند ولی اشکال فرکتال با فرآیندهای پویا تولید می شوند.( فرآیندهای پویا, فرآیندهایی هستند که دارای حافظه می باشند و رفتار آنها به گذشته بستگی دارد.)
- اشکال فرکتال دارای خاصیت خود همانندی است. طول این اشیا بی نهایت است که در فضای محدود, محصور شده اند.


- مجموعه های فرکتال, از زیر مجموعه هایی تشکیل شده اند که این زیر مجموعه ها شبیه مجموعه های بزرگتر هستند.
- هندسه فرکتال دارای ساختارهای ظرفیتی بالاست ولی ظرفیت اطلاعاتی اشیای اقلیدسی بسیار محدود و حاوی اطلاعات تکراری است.
- هندسه فرکتال, بیان ریاضی از معماری طبیعت است.
- هر فرآیند تکراری و پویا باعث ایجاد ساختارهای پیچیده فرکتال نمی شود. مکانیزم تولید چنین ساختارهای پویایی, آشوب است. در حقیقت, فرکتال تصویر ریاضی از آشوب است.

رابطه فراکتال و معماری
مطالعه هندسه باید به طراح کمک کند به درک بهتری از جریان جزئیات در پیرامون ما و جهان طبیعی دست یابد.

خصوصیت فراکتالی یک ترکیب معماری در تسلسل جالب جزئیات است. این تسلسل برای حفظ جذابیت معماری لازم است. هنگامی که شخص به یک ساختمان نزدیک و سپس به آن وارد می شود همیشه باید مقیاس کوچکتر دیگری همراه با جزئیات جذاب وجود داشته باشد تا معنای کلی ترکیب را بیان کند که این یک ایده فراکتال است.
انسانها در روزگار قدیم که در طبیعت می زیستند و مانند انسان دوره مدرن, با طبیعت بیگانه نبودند, معماریشان با نظم طبیعت بود. آنها به این دلیل که در طبیعت رشد میافتند, ضمیر ناخودآگاهشان نیز با نظم طبیعت- یعنی با نظم فراکتال- رشد میافت, در نتیجه مصنوعاتش نیز دارای نطم فراکتال می بود.

به دنبال بیگانگی انسان معاصر با طبیعت و دور شدن ساخته هایش از تشابه با ساختارهای طبیعت, معماران معاصر به دنبال نمود دادن ساختار فراکتال طبیعت در آثارشان هستند. هر چند که این هنوز آغاز راه است ولی ارتباطی جدیدی در زمینه طبیعت و معماری معاصر را نشان میدهد. ارتباطی که انسان مدرن آن را فراموش کرده بود.

This image has been resized. Click this bar to view the full image. The original image is sized 1024x768.

This image has been resized. Click this bar to view the full image. The original image is sized 1024x768.


Military design incorporates the fractal antenna into the helmet itself!
Fractal Furniture is NOW HERE! Fractal Table

من فکرمی کنم که معماری بخش بزرگی برای ترویج فرهنگ بین مردم هستش. مردم اون چیزی رو که میبینند الگوی خودشون قرار میدهند. پس بامعماری خوب ودرست می شه فرهنگ مردم رو به حد اعلاء برسونیم

فراکتال ها، مسیری برای دیدن بی نهایت

نظريه آشوب و سيستم‌های پيچيده، مشخصه‌ها، واژگان و مفاهيم مخصوص خود را دارند كه بدون آن‌ها نمی توان تعبير درستی از استفاده از آن ها در مطالعه يك پديده داشت. در مطالب بعدی بعضی از مهم‌ترين مشخصه‌ها و مفاهيم مرتبط با نظریه آشوب و سیستم های پیچیده را تشريح خواهم کرد. در این نوشتار، با مفهوم فراکتال (برخال به فارسی) آشنا می شوید.

در دهه 1980، بنوا مندلبروت رايانه خانگي خود را براي آنچه را كه وي فراكتال ناميد، به‌كاربرد. يك فراكتال شكل‌های مشابه به خودی هستند كه يك شكل پايه‌ای در آن‌ها به‌طور مداوم و در سطح‌هاي مختلف تكرار شده است. به‌طور مثال اگر شما به سرخس نگاه‌كنيد، پی می بريد كه زيرشاخه‌های موجود در شاخه‌های درخت سرخس خود مشابه كل درخت هستند و زير شاخه زير شاخه‌های درخت نيز همين ساختار را تكرار كرده‌اند، اين شكل پايه‌ای همان فراكتال است.

ساختار خود-متشابهی درخت سرخس

فراکتال ها، الگوهای غيرمنتظره‌ای از نظم در آشوب هستند كه همه آن‌ها خاصيت خودمتشابه دارند. يك سيستم خودمتشابه داراي يك الگوی ثابتی است كه در سطوح مختلف تكرار شده است. به‌طور مثال، اگر به تصوير شن‌های صحرا بنگريد، نمی توانيد حدس بزنيد كه آيا فاصله ديد شما 5 متر است يا 500 متر، اين تصاوير می توانند خيلی نزديك باشند و يا خيلی دور. شكل پايه‌ای تلی از ماسه در تمام فواصل شبيه به هم است. به اين حالت، «خودمتشابه» و يا «مستقل از مقياس»، گفته می شود. شكل فراكتال‌ها در سطوح مختلف از نگرش، مشابه خودش است ولی با هر مقياس به آن‌ها نگاه كنيد، ظاهر مشابه و يكسانی را خواهيد ديد. در تصوير شن‌های صحرا، تنها زمانی می توانيد مقياس را تشخيص دهد كه به‌طور مثال، چند شتر در تصوير باشند. شما می توانيد تصويری را كه يك سوسك بر روی شن‌های صحرا در حال راه‌رفتن است را نيز تصور كنيد كه مقياس تصويرتان را نشان می دهد.

تصوير تلی از ماسه (مقياس قابل حدس زدن نيست)

همان شكل قبلی ولی با اضافه شدن چند شتر (مقياس قابل درك است)

در سال 1975، بنوا مندلبروت كه يك رياضی دان بود و برای IBM کار می کرد، عبارت فراكتال را براي تشريح الگوهای خودمتشابه به‌كار برد. وي در سال 1967، یک سوال و چالشی را مطرح كرد. سوال از اين قرار بودكه طول خط ساحلی بريتانيا چقدر است (چند کیلومتر است)؟ شايد در نگاه اول جواب اين سوال به نظر ساده بيايد. اما محاسبه آن بسيار سخت است. شايد چنين فكر شود كه با يك مقیاس نقشه برداری و قراردادن آن بر روي نقشه بريتانيا، مي‌توان اندازه و در نهايت طول ساحل بريتانيا را محاسبه كرد. اما اگر ما يك نقشه دقيق‌تر داشته باشيم، به اين موضوع پی خواهيم برد كه تعداد زيادی از خليج‌های كوچك و خطوط ساحلی وجود دارند كه در نقشه‌های با مقیاس بزرگتر، نشان داده نشده‌اند. اين موضوع باعث می شود كه خط ساحلی افزايش یابد. اگر ما حتی بخواهيم، اندازه كاملاً دقيق را محاسبه كنيم، پی خواهيم برد كه طول خط ساحلی بازهم افزايش می يابد. بنابراين، اگر شما درست درباره اين موضوع فكر كنيد، طول خط ساحلی كه ما محاسبه می كنيم، بستگی به نحوه محاسبه ما دارد و هرچقدر كه بخواهيم دقيق‌تر محاسبه كنيم، طول خط ساحلي افزايش می يابد. در نهايت بايد گفت كه طول امتداد خط ساحلی در واقع بی نهايت است. اگر شما به نقشه نگاه كنيد، نمی توانيد تشخيص دهيد كه به امتداد يك كيلومتر از خط ساحلی نگاه می كنيد و يا هزار كيلومتر. در حقيقت خط ساحلی ساختار فراكتالی دارد. شما هرچقدر كه به نقشه ساختار فراکتال با بزرگنمايی بالا نگاه كنيد، شكل اصلی نقشه‌ثابت باقی می ماند. خطوطی كه در نقشه ديده می شوند، می توانند بلوك‌های زمين‌های كشاورزی باشند و يا مرزهای بين‌كشورها و به طور مثال آمريكای جنوبی باشند.

نقشه آمريكای جنوبی و ساختار فراكتالی آن

خط ساحلی و شمالی نقشه فوق كه در مقياسی بزرگتر می تواند نقشه كشورهای ديگری در نظر گرفته شود (يعني نقشه در نقشه)

درختان نيز خود متشابه هستند. يك شاخه كوچك از يك درخت، شكل پايه‌ای و اصلی كل درخت را داراست. اگر شما حرف انگليسی (Y) را در نظر بگيريد و همان حرف Y را در هر كدام از شاخه‌های بالايی تكرار كنيد و اين كار را برای چندين مرحله به انجام برسانيد، آخر كار با شكلی مشابه درخت مواجه خواهيد بود. طبيعت اطراف ما مملو از فراكتال‌هاست. شكل‌هاي فراكتالی را در كلم و يا كلم بروكلی نيز می توان يافت. اعضای بدن ما نيز با ساختارهای فراكتالی پر شده است. شكل مجاری هوا در ریه ‌های انسان در واقع براساس فراكتال ‌به شكل معكوس حرف (Y) بنا شده است. كليه‌ها، شريان‌هاي خونی و حتی شبكه‌های عصبی در مغز انسان براساس شكل‌های فراكتالی بنا شده‌اند.

ساختار فراكتالي در ریه هاي انسان

فراكتال‌هايی كه در طبيعت پيدا می شوند، همانند فراكتال‌هايی كه با فرمول‌های رياضی ساخته می شوند، كامل نيستند و در سطوح بزرگنمايی بی نهايت تكرار نمی شوند. در طبيعت، به‌طور كل حداكثر هفت سطح از الگوهاي فراكتالی يافت می شوند و بعد از اين هفت سطح، اندازه فراكتال به اندازه‌ايی كوچك می شود كه ديگر قابل شناخت نيست. فراكتال‌ها نه‌تنها در دنيای طبيعت يافت می شوند، بلكه در دنيای ساخت بشر نيز ديده‌ می شوند. اگر شما به نقشه يك شهر نگاه كنيد، ساختار خودمتشابهی را خواهيد ديد. به‌طور مثال بزرگراه‌ها را می بينيد كه جاده‌ها از آن‌ها به صورت رشته‌هايی منشعب شده‌اند و از همان جاده‌ها نيز خيابان‌هايی منشعب شده و از خيابان‌ها هم كوچه‌ها منشعب شده‌اند.

ساختار فراکتالی در شهرها

برای ما ایرانی ها شاید درک فراکتال آسان تر از سایر مردمان باشد. زیرا ما از دوران کودکی بر روی فرش و قالی های ایرانی بازی کرده ایم که نقش و نگار اکثر فرش ها و قالی ها از تکرار اشکال مختلف هندسی و غیر هندسی در سطوح مختلف تشکیل شده اند. این اشکال دقیقا همان فراکتال هایی هستند که طرح بزرگ فرش و قالی را تشکیل می دهند.

فراکتال ها در فرش

نکته جالب این که فراکتال را می توان حتی در موضوعات انتزاعی و مفهومی نیز تعریف کرد. به عنوان مثال، نحوه شیوع یک شایعه در یک اجتماع و یا حتی تشکیل یک منطق راهبردی در فرهنگ یک سازمان یا سیستم، ساختار فراکتالی دارد. داستان ها، روایت ها، ضرب المثل ها و حتی تصاویر می توانند به صورت یک فراکتال در فضای فکری یک جامعه یا سازمان، توسعه یافته، در سطوح مختلف تکرار شده و گسترش یابند.

حال سؤال اينجاست كه چرا طبيعت الگوهاي فراكتالی را در بسياری از ساختارها به كار برده است؟ انتخاب طبيعی گرايشی در انتخاب ساختارهايی با كمترين كارايی براي حذف كردن دارد و در طول زمان تنها ساختارهايی كه بالاترين كارايی را دارند، باقی می مانند. در ریه ‌های ما، ساختار مجاری هوا طوری توزيع شده‌اند كه بالاترين كارايی را در رساندن اكسيژن به جريان خون داشته باشند. در يك الگوی فراكتالی همانند مجاری هوا در ریه، قطر مجاری در هر فراكتالي (در نقطه انشعاب) طوری كاهش يافته است كه نسبت كاهش در تمامی انشعاب‌ها ثابت است و همچنين بالاترين ضريب نفوذ هوا به درون جريان خون از طريق اين مجاری را تأمين كرده است.

نحوه گسترش آتش در یک مزرعه یا جنگل، ساختار صاعقه، نوع خاصی از کلم نیز ساختار فراکتالی دارند. حتی ساختار کهکشان ها و منظومه های ستارگان نیز ساختار فراکتالی دارند. نکته جالب این که پروفسور حسابی نظریه ای را توسعه داد که معتقد بود هر ذره ای بی نهایت گسترده است و در تمام فضا پخش شده است. در این ساختار فراکتال نگرش همه ذرات جهان بهم مرتبط هستند. زیرا فرض بر این است که هر ذره تا بی نهایت گسترده است و همه ذرات جهان در نقاط مختلف جهان با هم وجود دارند. یعنی در واقع قسمت کوچکی از تمام جهان در هر نقطه ای وجود دارد. به طور کلی باید گفت که فراکتال ها از ذرات بی نهایت کوچک کوانتومی تا کهکشان ها و سوپر نووا ها وجود دارند. به عبارت کلی تر، فراکتال ها مکانیسم آفرینش هستی توسط خداست.



اشتراک گذاری

دیدگاه شما

اولین دیدگاه را شما ارسال نمایید.